傅利叶分析fourier analysis 是分析学中18世纪逐渐形成的一个重要分支,主要研究函数的傅利叶变换及其性质。又称调和分析。在经历了近2个世纪的发展之后,研究领域已从直线群、圆周群扩展到一般的抽象群。关于后者的研究又成为群上的傅里叶分析。傅里叶分析作为数学的一个分支,无论在概念或方法上都广泛地影响着数学其它分支的发展。数学中很多重要思想的形成,都与傅里叶分析的发展过程密切相关。

中文名

傅里叶分析

外文名

fourier analysis

形成时间

18世纪

研究方向

函数的傅里叶变换及其性质

说明

扩展到一般的抽象群

别名

调和分析

学科

数理科学

法国科学家j.-b.-j.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要,从事热流动的研究。他在题为《热的解析理论》一文中,发展了热流动方程,并指出了任意周期函数都可以用三角基来表示的想法。他的这种思想,虽然缺乏严格的论证,但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响,成为傅里叶分析的起源。

由三角函数系{cosnx,sinnx}(n=0,1,2,…)组成的无穷级数称为三角级数,其中αn,bn为系数,与x无关。若级数⑴对于一切x收敛,它的和记为(x):则(x)是一个具有周期2π的周期函数。上式两边分别乘以cosnx或sinnx,并且在(0,2π)上同时积分,就得到公式上面的运算是形式的,因为符号σ与积分的交换缺乏根据。

为了保证上述运算的正确性,应当对级数⑴的收敛性加以必要的限制,例如一致收敛性等。但是,上面提供的纯形式运算,却提出了一个很有意义的问题:如果(x)是一个给定的以2π为周期的周期函数,通过⑶可以得到一列系数αn,bn,从而可构造出相应的三角级数⑴。这样得到的三角级数⑴是否表示(x)?正是傅里叶,他首先认为这样得到的级数⑴可以表示(x)。

给定(x),利用⑶得到的三角级数⑴,称为的傅里叶级数,而称⑶为的傅里叶系数。这种思想可以推广到任意区间上的正交函数系。特别,(n=0,±1,±2,…)是[0,2π]上的规范正交函数系,函数关于它的傅里叶级数为称为的傅里叶级数的复形式。

傅里叶分析从诞生之日起,就围绕着“傅里叶级数究竟是否收敛于自身”这样一个中心问题进行研究。当傅里叶提出函数可用级数表示时,他的想法还没有得到严格的数学论证,实际的情形人们并不清楚。p.g.l.狄利克雷是历史上第一个给出函数(x)的傅里叶级数收敛于它自身的充分条件的数学家。

他的收敛判别法,后称为狄利克雷-若尔当判别法。他证明了在一个周期上分段单调的周期函数的傅里叶级数,在它的连续点上必收敛于(x);如果在x点不连续,则级数的和是((x 0) (x-0))/2。顺便指出,狄利克雷正是在研究傅里叶级数收敛问题的过程中,才提出了函数的正确概念。因为在他的判别法中,函数在一个周期内的分段单调性,可能导致该函数在不同区间上的不同解析表示,这自然应当把它们看做同一个函数的不同组成部分,而不是像当时人们所理解的那样,认为一个解析表达式就是一个函数。

(g.f.)b.黎曼对傅里叶级数的研究也作出了贡献。上面说过,确定的傅里叶系数,要用到积分式⑶。但是人们当时对积分的理解还不深入。黎曼在题为《用三角级数来表示函数》(1854)的论文中,为了使得更广一类函数可以用傅里叶级数来表示,第一次明确地引进并研究了现在称之为黎曼积分的概念及其性质,使得积分这个分析学中的重要概念,有了坚实的理论基础。他证明了如果周期函数(x)在[0,2π]上有界且可积,则当n趋于无穷时的傅里叶系数趋于0。此外,黎曼还指出,有界可积函数的傅里叶级数在一点处的收敛性,仅仅依赖于(x)在该点近旁的性质。这个非常基本而重要的结果称之为局部性原理。

g.g.斯托克斯和p.l.von赛德尔引进了函数项级数一致收敛性的概念以后,傅里叶级数的收敛问题进一步受到了人们的注意。h.e.海涅在1870年的一篇论文中指出,有界函数(x)可以唯一地表示为三角级数这一结论,通常采用的论证方法是不完备的,因为傅里叶级数未必一致收敛,从而无法确保逐项积分的合理性。这样,就可能存在不一致收敛的三角级数,而它确实表示一个函数。这就促使g.(f.p.)康托尔研究函数用三角级数表示是否唯一的问题。这种唯一性问题的研究,又促进了对各种点集结构的探讨。g.康托尔第一次引进了点集的极限点以及导集等概念,为近代点集论的诞生奠定了基础。

k.(t.w.)外尔斯特拉斯在1861年首次利用三角级数构造了处处不可求导的连续函数。他的这一发现震动了当时的数学界,因为长期的直观感觉使人们误认为,连续函数只有在少数一些点上才不可求导。

勒贝格积分理论

20世纪初,h.l.勒贝格引入了新的积分与点集测度的概念,对傅里叶分析的研究产生了深远的影响。这种积分与测度,现在称为勒贝格积分与勒贝格测度,已成为数学各分支中不可缺少的重要概念和工具。勒贝格用他的积分理论,把上面提到的黎曼的工作又推进了一步。例如,根据勒贝格积分的性质,任何勒贝格可积函数的傅里叶级数,不论收敛与否,都可以逐项积分。又例如,对于[0,2π]上勒贝格平方可积的函数,帕舍伐尔等式成立

傅里叶级数,特别是连续函数的傅里叶级数,是否必处处收敛?1876年p.d.g.杜布瓦-雷蒙首先发现,存在连续函数,它的傅里叶级数在某些点上发散;后又证明,连续函数的傅里叶级数可以在一个无穷点集上处处发散。这反面结果的发现提醒人们对傅里叶级数的收敛性应持审慎态度。

费耶尔求和法

正是基于上述原因,1904年,匈牙利数学家l.费耶尔首次考虑用部分和的算术平均代替级数的部分和,证明了傅里叶级数部分和序列的算术平均,在函数的连续点上,必收敛于函数自身。这样,通过新的求和法,又能成功地用傅里叶级数表达连续函数。这无疑是傅里叶级数理论的一个重要进展。费耶尔之后,各种求和法相继产生。一门新的学科分支,发散级数的求和理论,就此应运而生。

卢津猜想

与此同时,傅里叶级数几乎处处收敛的问题,特别是所谓的卢津猜想,受到人们的重视(见卢津问题)。瑞典数学家l.卡尔森用十分精巧的方法,才证实了这一猜想的正确性。

复变函数论方法

傅里叶级数与单位圆内解析函数的理论有着非常密切的联系。假设⑴是可积函数的傅里叶级数,简单的计算表明,它是复变量z的幂级数⑸的实部。另一方面,级数⑸是单位圆内的解析函数,记为f(z)。这样,傅里叶级数⑴可以通过单位圆内解析函数的理论来研究。这就是傅里叶分析中的复变函数论方法,它是20世纪前半叶研究傅里叶级数的一个重要工具。

经典的h空间概念

进一步的研究导致g.h.哈代以及f.(f.)里斯兄弟建立单位圆上h空间的理论。他们研究了单位圆内使有界的解析函数f(z),这里00。这类函数的全体,称为h空间,它是近代h空间理论的先驱。

通过傅里叶级数刻画函数类是傅里叶分析中的重要课题,著名的帕舍伐尔公式以及里斯-费希尔定理反映了函数类l(0,2π)的特征。如果p≠2,则有以下的豪斯多夫-杨定理。

李特尔伍德-佩利理论

上述豪斯多夫-杨定理的实质,是用傅里叶系数的大小来反映函数所属的空间,但它并没有给出空间l(0,2π)的傅里叶级数特征。因此,不可能象帕舍伐尔公式那样,用傅里叶系数的大小来刻画l(0,2π)中函数的特征。

极大函数

20世纪50年代以前的重要工作中,还应当提到哈代与李特尔伍德的其他许多贡献。特别是30年代,他们用极大函数研究傅里叶级数,取得了很深刻的结果。极大函数是一种算子,它的定义是极大函数m(x)比函数自身要大,用它来控制傅里叶分析中某些算子,可以达到估计其他算子的目的。

50年代以前,傅里叶分析的研究领域基本上限于一维的具体空间,50年代以后的研究,逐渐向多维和抽象空间推广。

积分理论

积分理论名称:考尔德伦-赞格蒙奇异积分理论。

由于偏微分方程等许多数学分支发展的需要,50年代出现的考尔德伦-赞格蒙奇异积分理论,标志了调和分析进入了一个新的历史时期。例如,当∈l(rn),泊松方程δu=的基本解u(x)的二阶导函数,在一定条件下(例如具有lipα连续性),可以表成如下的奇异积分сn为某常数,仅与维数n有关。积分⑻作为勒贝格积分一般是发散的;注意到ωj(y)在r的单位球面s上的积分为0,可以证明,积分⑻在柯西主值意义下存在,并且作为x的函数是连续的,从而u(x)是泊松方程的解。

考尔德伦、赞格蒙研究了一类相当广泛的奇异积分算子⑼的性质,这里ω(y)是具有一定光滑性的零阶齐次函数,且满足条件。他们证明了这种积分算子具有l有界性(p>1);利用这些性质,可以得到某类微分方程中解的“先验估计”。

h空间理论的近代发展e.m.施坦、g.韦斯于20世纪60年代,引进了上半空间上的h空间,它们是n=1的推广。当n=1时,h(p>0)空间中的函数在r=(-∞,∞)上的边值函数几乎处处以及在l范数下都存在,施坦、韦斯定义的多维空间,显然是一维h(r崹)空间的推广。

人们自然要问,经典的h(r崹)空间中最基本的性质,例如边值函数的存在性等,在多维空间中是否还被保留?施坦、韦斯首先发现,p>(n-1)/n时,答案是肯定的;例如他们证明,若f∈,p>(n-1)/n,那么几乎处处以及在l范数意义下都存在。1964年,考尔德伦、赞格蒙利用高阶梯度概念,原则上把h空间的上述限制p>(n-1)/n放宽为p>0,但他们的方法比较复杂,随着指标p的不同,h空间定义的一致性,当时并不清楚。

70年代初,h空间的近代理论经历了引人注目的发展。d.l.伯克霍尔德、r.f.冈迪、m.l.西尔费斯坦于1971年,首先就一维的情形,证明的充分且必要的条件是,f(x iy)的实部u(x,y)的角形极大函数。